练习算术，学习数学

数苹果、动物和圆点，数到十，认识十格框。然后学习加一和减一。

数到 5 · 数到 10 · 十格框 · 多一个 · 少一个 · 练习：数到 10

在数轴上数到二十。说出哪个数更多、更大，并把数按从小到大排好。

数到 20 · 20 以内多一个、少一个 · 更多还是更少 · 更大和更小 · 把数排好顺序 · 练习：20 以内

把东西合在一起，写成加法算式。练习双倍数、凑十的好朋友和简单的应用题。

合在一起 · 在十格框上加 · 双倍数 · 凑十的好朋友 · 应用题 · 练习：10 以内的加法

把东西拿走，在数轴上往回跳。你会发现加和减是一对，还会算简单的应用题。

拿走 · 往回跳 · 从 10 里拿走 · 加和减是一对 · 应用题 · 练习：10 以内的减法

你会看到 13 就是一个十再加三。然后在 20 以内往前跳、往回跳，算双倍数和应用题。

十和几 · 20 以内的加法 · 20 以内的减法 · 20 以内的双倍数 · 20 以内的应用题 · 练习：20 以内

算 8 + 5 和 13 − 5 这样的题：先凑到 10，再算剩下的。

先凑十 · 越过十 · 先退到十 · 往回越过十 · 过十的应用题 · 练习：过十

测验内容是数数和比较、10 以内和 20 以内的加减法，以及进位退位的算式。

测验：数数和比大小 · 测验：10 以内 · 测验：20 以内 · 测验：过十 · 测验：综合

一十一十地数到 100，发现 34 由 3 个十和 4 个一组成。你会比较数的大小，往前或往回跳十。

一十一十地数 · 十位和个位 · 到 100 的数轴 · 更多和更少 · 多十个、少十个 · 练习：十位和个位

100 以内的加法：先加整十，再加个位。学习过十进位，以及两个两位数相加。

加整十 · 加个位 · 给一个数加整十 · 过十进位 · 两个较大的数 · 练习：100 以内的加法

100 以内的减法：整十和个位分开减，也学退位。然后用一个两位数减去另一个两位数。

减整十 · 减个位 · 从一个数里减去整十 · 退位 · 两个两位数 · 练习：100 以内的减法

把乘法看成一排排的圆点，学习 2、10 和 5 的乘法表。你会发现 3 × 4 和 4 × 3 一样。

一排一排 · 2 的乘法表 · 10 的乘法表 · 5 的乘法表 · 交换顺序 · 练习：2、5 和 10 的乘法表

学习 3、4 和 6 的乘法表，还有小窍门，比如“4 的乘法表是 2 的乘法表的两倍”。然后把几张表混在一起练。

3 的乘法表 · 4 的乘法表 · 6 的乘法表 · 乘法表的应用题 · 2 到 6 的乘法表混合 · 练习：3、4 和 6 的乘法表

学习最难的 7、8 和 9 的乘法表。算 9 时借助 10。最后把 1 到 10 的所有乘法表混在一起练习。

7 的乘法表 · 8 的乘法表 · 9 的乘法表 · 大乘法表的应用题 · 所有乘法表混合 · 练习：7、8 和 9 的乘法表

公平地分东西，发现除法就是乘法表倒过来用。这样你就能除以 2 到 9。

公平地分 · 除法就是乘法表倒过来用 · 除以 2、5 和 10 · 除以 3、4 和 6 · 除以 7、8 和 9 · 练习：乘和除

认指针钟表：整点、半点、几点一刻和差一刻几点，以及精确到五分钟。你还会算一件事用了多长时间。

整点 · 半点 · 一刻和三刻 · 五分钟 · 要用多长时间？ · 练习：钟表

数硬币和纸币，把价格加起来，算找零。你还会算自己存了多少钱。

硬币和纸币 · 价格加起来 · 付钱和找零 · 价格的应用题 · 存钱 · 练习：钱

测验内容是 100 以内的数、乘法表、除法、钟表和钱。

测验：100 以内 · 测验：乘法表 · 测验：除法 · 测验：钟表 · 测验：钱 · 测验：综合

学习百位和千位，把 10000 以内的数放到数轴上，比较大小，并进行四舍五入。

一百一百地数 · 百位、十位和个位 · 千位 · 到 10000 的数轴 · 比较和排序 · 四舍五入

把数拆开，做 1000 以内的加减法，包括过百进位。然后学习竖式计算：把算式上下排列。

拆数相加 · 过百进位 · 拆数相减 · 过百退位 · 竖式计算 · 练习：1000 以内的加减法

学习 11 和 12 的乘法表，计算乘以 10、100 和 1000。像 23 × 4 这样较大的乘法，用拆数的办法来算。

11 和 12 的乘法表 · 乘以 10、100 和 1000 · 整十数乘一位数 · 两位数乘一位数 · 两位数乘 10 和 100 · 练习：大数的乘法

用 12 以内的乘法表做除法，发现剩下的部分叫余数。除以 10 和 100，并把较大的数拆开来除。

所有乘法表倒过来用 · 剩下的部分 · 里面有几个 · 除以 10 和 100 · 更大的数 · 练习：有余数的除法

学习二分之一、四分之一和三分之一，以及什么是分子和分母。你会做分数的加减，找相等的分数，求一个数的几分之几。

二分之一、四分之一、三分之一 · 分子和分母 · 分数加法 · 分数减法 · 相等的分数 · 求一个数的几分之几 · 练习：分数

用米、厘米、千米和毫米，千克和克，升和毫升，以及小时、分钟和秒来计算。

米和厘米 · 千米和毫米 · 千克和克 · 升和毫升 · 小时、分钟和秒 · 练习：测量

测验内容是 10000 以内的数、加减法、乘除法、分数和测量。

测验：10000 以内的数 · 测验：加法和减法 · 测验：乘法和除法 · 测验：分数 · 测验：测量 · 测验：综合

学习把十分之几和百分之几写成小数。你会比较小数、做加减法、乘除以 10 和 100，并进行四舍五入。

十分之几 · 百分之几 · 比较小数 · 小数加法 · 小数减法 · 百分位：加和减 · 乘以和除以 10、100 · 四舍五入和练习

学习百分数的意思，在分数、小数和百分数之间互相转换。你会计算任何一个百分数，包括打折和涨价。

百分数是什么意思 · 分数、小数和百分数 · 50%、25%、10% 和 1% · 任意百分数 · 打折 · 涨价 · 练习：百分数

学习什么是比，并使用比例表。先算出“1 份”是多少，就能调整价格或食谱的用量。

比是什么 · 比例表：先算 1 份 · 放大 · 归一法 · 练习：比

认识零下的数，比如冬天的气温。在数轴上做加减法，也包括负数。

零下 · 在数轴上加 · 走到零以下 · 加一个负数 · 减一个负数 · 练习：负数

计算长方形和正方形的周长，以及用长 × 宽求面积。你会弄清什么时候需要周长，什么时候需要面积。

周长：绕一圈 · 正方形 · 面积：数方格 · 面积 = 长 × 宽 · 周长还是面积？ · 练习：周长和面积

阅读条形图、象形图和扇形图。找出总数和差，并读出百分数。

条形图 · 总数和差 · 象形图 · 扇形图 · 练习：读统计图

测验内容是小数、百分数、比、负数、周长和面积，以及统计图。

测验：小数 · 测验：百分数 · 测验：比 · 测验：负数 · 测验：周长和面积 · 测验：统计图 · 测验：综合

学习运算顺序：先乘除后加减，括号里的先算。也学习负数的乘法和除法。

先乘后加 · 先乘后减 · 先算括号 · 负数的乘法 · 负数的除法 · 练习：运算顺序

明白字母可以代表一个数，并把数代进公式里。你会合并同类项，去掉括号。

字母代表一个数 · 代入 · 代入负数和平方 · 同类项 · 带数的同类项 · 去括号 · 练习：生活中的公式

像天平一样解方程：两边做同样的事。练习两步方程、负数解、两边都有 x 的方程和带括号的方程。

天平 · 乘和除 · 两步方程 · 负数解 · 两边都有 x · 带括号的方程 · 练习：方程

在坐标系里描点，把公式变成表格和图像。你会从直线上读出起始值（截距）和斜率。

坐标 · 从公式到表格 · 公式的图像 · 起始值 · 有多陡 · 练习：直线图像

计算平方、更高次的幂和 10 的幂。你要留意底数前面的负号，还会学到什么是平方根。

平方 · 立方和更高次的幂 · 10 的幂 · 负的底数 · 平方根 · 练习：幂和根

学习勾股定理：a² + b² = c²。用它可以算出直角三角形的斜边或一条直角边。

直角三角形 · a² + b² = c² · 求斜边 · 求直角边 · 练习：勾股定理

测验内容是运算法则、公式、方程、线性关系、幂和平方根，以及勾股定理。

测验：运算顺序和负数 · 测验：字母和公式 · 测验：方程 · 测验：直线图像 · 测验：幂和根 · 测验：勾股定理 · 测验：综合

解一元二次方程：用 x² = 某个数、用“乘积为零”、提公因式，以及因式分解。

x² = 某个数 · 乘积为零 · 提公因式 · 两个数 · 先把所有项移到一边 · 练习：二次方程

同时解含两个未知数的两个方程。你会用加减消元法和代入消元法。

两个方程，一个答案 · 把它们加起来 · 把一个减掉 · 代入法 · 练习：方程组

认出相似图形，并算出放大倍数。用它可以求出缺失的边长、一棵树的高度，或地图上的距离。

形状相同，大小不同 · 放大倍数 · 缺失的边 · 影子和高度 · 练习：相似图形

从一个角出发，说出直角三角形各条边的名称，并用正弦、余弦和正切计算。你还会根据两条边算出一个角。

给边命名 · 正弦 · 余弦 · 正切 · 求角 · 练习：三角函数

计算平均数、中位数、众数和极差。你会明白，当有一个数和其他数相差很大时，哪种统计量最公平。

平均数 · 中位数 · 众数和极差 · 哪一个说了真话？ · 练习：统计

用骰子和弹珠，通过数有利结果和所有可能结果来计算概率。你还会算“不发生”的概率，并把概率写成百分数。

可能性是什么 · 一袋弹珠 · 不发生的概率 · 用百分数表示 · 练习：概率

测验内容是二次方程、方程组、相似、三角函数、统计和概率。

测验：二次方程 · 测验：方程组 · 测验：相似图形 · 测验：三角函数 · 测验：统计 · 测验：概率 · 测验：综合

学习像 f(x) = x² − 3x + 2 这样的函数表达式。你会求复合函数、求反函数，并从图像上读出函数值。

函数是一条规则 · 二次函数和其他规则 · 复合函数 · 反函数 · 函数的图像 · 练习：函数

学习幂的运算法则，包括指数为 0 和负数的情况。用增长因子计算随时间的增长，比如利息和翻倍。

幂的运算法则 · 零次幂和负指数 · 增长因子 · 随时间增长 · 翻倍和减半 · 练习：指数增长

明白对数回答的是“多少次幂？”这个问题。你会使用对数的运算法则，解指数里含 x 的方程。

对数是什么 · 以 10 为底和很小的数 · 对数的运算法则 · 用对数解方程 · 练习：对数

认出等差数列和等比数列，并算出某一项。你还会把各项加起来变成级数，就像高斯算 1 加到 100 那样。

等差数列 · 等比数列 · 哪一种？ · 等差数列求和 · 等比数列求和 · 练习：数列和级数

明白导数给出曲线的斜率。用幂法则逐项求导，写出切线方程，找出极大值点和极小值点。

曲线的斜率 · 幂函数法则 · 逐项求导 · 切线 · 极值点 · 练习：导数

把向量理解成用坐标分量表示的位移。你会做向量加法、乘以一个数，计算它们的长度和点积。

向量是一步 · 向量的加法和减法 · 数乘向量 · 向量的长度 · 点积和练习

测验内容是函数、指数增长、对数、数列和级数、导数以及向量。

测验：函数 · 测验：指数增长 · 测验：对数 · 测验：数列和级数 · 测验：导数 · 测验：向量 · 测验：综合

学习什么是极限，计算图像上有缺口处以及趋向无穷时的极限。你还会看到极限什么时候不存在。

极限是什么 · 图像上的缺口 · 趋向无穷 · 极限不存在的时候 · 练习：极限

学习证明：直接证明、举反例、反证法和数学归纳法。最后，在一个“证明”2 = 1 的推导里找出错误。

直接证明 · 反例 · 反证法 · 数学归纳法 · 找出错误

用乘积法则和链式法则求导，学习标准导数，比如 eˣ 的导数。你会把导数当作变化率来使用。

乘积法则 · 链式法则 · 标准导数 · 变化率 · 练习：求导

学习求原函数和计算定积分。用它来确定图像下方的面积，包括在 x 轴下方和两条图像之间的面积。

原函数 · 定积分 · 逐项积分 · 曲线下方的面积 · 轴下方和两条曲线之间 · 练习：积分

学习什么是矩阵，把它乘以一个数、一个向量和另一个矩阵，并计算行列式。

矩阵是什么 · 数乘矩阵 · 矩阵乘向量 · 矩阵乘矩阵 · 行列式 · 练习：矩阵

通过 i² = −1 认识复数。你会做复数的加法、乘法，用共轭复数做除法，并求模。

i² = −1 · 加法和乘法 · 共轭和除法 · 模 · 练习：复数

数排列和组合，并使用二项分布。你会计算期望值和条件概率。

数排列 · 组合 · 二项分布 · 期望值 · 条件概率 · 练习：概率

期末测验内容是极限、证明、求导、积分、矩阵、复数和概率。

测验：极限 · 测验：证明 · 测验：求导 · 测验：积分 · 测验：矩阵 · 测验：复数 · 测验：概率 · 测验：综合

计算余数和模 n，用欧几里得算法求最大公约数，以及最小公倍数。你还会接触质数和费马小定理。

余数和模 · 计算模 n · 最大公约数和欧几里得算法 · 最小公倍数 · 质数和费马小定理 · 练习：数论

计算矩阵的逆，并用它解方程组。然后求特征值和特征向量，包括三角矩阵的情形。

逆矩阵 · 用逆矩阵解方程组 · 特征值 · 三角矩阵和特征向量 · 练习：线性代数 2

解 y′ = k · y 这样的微分方程，用于增长和衰减。你会计算半衰期和翻倍时间，并使用牛顿冷却定律。

微分方程是什么 · 增长和衰减 · 半衰期和翻倍时间 · 牛顿冷却定律 · 练习：增长、衰减和冷却

处理二元函数。你会计算偏导数和梯度，找出驻点，并计算二重积分。

二元函数 · 偏导数 · 梯度和驻点 · 二重积分 · 练习：多元函数

求无穷等比级数的和，判断一个级数是收敛还是发散，包括用比值判别法。你还会写出泰勒多项式。

无穷等比级数 · 收敛还是发散 · 收敛判别法 · 泰勒多项式 · 练习：级数

认识图：顶点、边和度数。你会用握手定理，数完全图的边数，并寻找欧拉路径。

顶点和边 · 握手引理 · 完全图 · 欧拉路径和树 · 练习：图

通过模 n 的加法和乘法明白什么是群。你会确定元素的阶，并使用拉格朗日定理。

群是什么 · ℤₙ：模 n 的加法 · ℤₙ*：模 n 的乘法 · 拉格朗日定理 · 练习：群

测验内容是数论、线性代数、微分方程、多元函数、级数、图和群。

测验：数论 · 测验：线性代数 · 测验：微分方程 · 测验：多元函数 · 测验：级数 · 测验：图 · 测验：群 · 测验：综合