Ćwiczenia z liczenia i nauka matematyki

Liczysz jabłka, zwierzęta i kropki do dziesięciu i poznajesz ramkę dziesiątkową. Potem dodajesz jeden albo odejmujesz jeden.

Liczenie do 5 · Liczenie do 10 · Ramka dziesiątkowa · O jeden więcej · O jeden mniej · Ćwiczenia: liczenie do 10

Liczysz do dwudziestu na osi liczbowej. Mówisz, która liczba jest większa, i układasz liczby od najmniejszej do największej.

Liczenie do 20 · O jeden więcej i mniej, do 20 · Więcej czy mniej · Większa i mniejsza · Liczby po kolei · Ćwiczenia: do 20

Łączysz rzeczy razem i zapisujesz to jako dodawanie. Ćwiczysz podwojenia, pary do 10 i krótkie historyjki.

Łączenie · Dodawanie w ramce dziesiątkowej · Podwojenia · Pary do 10 · Krótkie historyjki · Ćwiczenia: dodawanie do 10

Zabierasz rzeczy i skaczesz do tyłu po osi liczbowej. Widzisz, że dodawanie i odejmowanie idą w parze, i rozwiązujesz krótkie historyjki.

Zabieranie · Skoki do tyłu · Odejmowanie od 10 · Dodawanie i odejmowanie idą w parze · Małe historyjki · Ćwiczenia: odejmowanie do 10

Widzisz, że 13 to dziesięć i jeszcze trzy. Potem skaczesz w przód i w tył do 20 i liczysz podwojenia oraz historyjki.

Dziesięć i jeszcze trochę · Dodawanie do 20 · Odejmowanie do 20 · Podwajanie do 20 · Małe historyjki do 20 · Ćwiczenia: do 20

Liczysz działania takie jak 8 + 5 i 13 − 5: najpierw dochodzisz do 10, a potem dodajesz lub odejmujesz resztę.

Najpierw dziesiątka · Skok przez dziesiątkę · Najpierw wróć do dziesięciu · Wstecz przez dziesiątkę · Historyjki przez dziesiątkę · Ćwiczenia: próg dziesiątkowy

Sprawdzian dotyczy liczenia i porównywania, dodawania i odejmowania do 10 i do 20 oraz przejścia przez dziesiątkę.

Sprawdzian: liczenie i porównywanie · Sprawdzian: do 10 · Sprawdzian: do 20 · Sprawdzian: próg dziesiątkowy · Sprawdzian: wszystko razem

Liczysz dziesiątkami do 100 i widzisz, że 34 to 3 dziesiątki i 4 jedności. Porównujesz liczby i skaczesz o dziesięć w przód lub w tył.

Liczenie dziesiątkami · Dziesiątki i jedności · Oś liczbowa do 100 · Większa czy mniejsza · O dziesięć więcej, o dziesięć mniej · Ćwiczenia: dziesiątki i jedności

Dodajesz do 100: najpierw dziesiątki, potem jedności. Uczysz się przechodzić przez dziesiątkę i dodawać dwie liczby dwucyfrowe.

Dodawanie dziesiątek · Dodawanie jedności · Dodawanie dziesiątek do liczby · Przez dziesiątkę · Dwie duże liczby · Ćwiczenia: dodawanie do 100

Odejmujesz do 100: dziesiątki i jedności osobno, także z przejściem przez dziesiątkę. Potem odejmujesz jedną liczbę dwucyfrową od drugiej.

Odejmowanie dziesiątek · Odejmowanie jedności · Dziesiątki od liczby · Wstecz przez dziesiątkę · Dwie liczby dwucyfrowe · Ćwiczenia: odejmowanie do 100

Widzisz mnożenie jako rzędy kropek i uczysz się tabliczki mnożenia przez 2, 10 i 5. Odkrywasz, że 3 × 4 to to samo co 4 × 3.

Rzędy kropek · Mnożenie przez 2 · Mnożenie przez 10 · Mnożenie przez 5 · Zamień kolejność · Ćwiczenia: mnożenie przez 2, 5 i 10

Uczysz się tabliczki mnożenia przez 3, 4 i 6, ze sztuczkami takimi jak „razy 4 to podwójnie razy 2”. Potem ćwiczysz te działania na wyrywki.

Mnożenie przez 3 · Mnożenie przez 4 · Mnożenie przez 6 · Zadania z mnożeniem · Mnożenie przez 2–6 na zmianę · Ćwiczenia: mnożenie przez 3, 4 i 6

Uczysz się tabliczki mnożenia przez 7, 8 i 9, najtrudniejszych. Przy 9 liczysz przez 10. Na koniec ćwiczysz całą tabliczkę od 1 do 10 na wyrywki.

Mnożenie przez 7 · Mnożenie przez 8 · Mnożenie przez 9 · Krótkie historyjki z mnożeniem · Cała tabliczka mnożenia · Ćwiczenia: mnożenie przez 7, 8 i 9

Dzielisz rzeczy po równo i widzisz, że dzielenie to tabliczka mnożenia na odwrót. Tak dzielisz przez liczby od 2 do 9.

Dzielenie po równo · Dzielenie to mnożenie na odwrót · Dzielenie przez 2, 5 i 10 · Dzielenie przez 3, 4 i 6 · Dzielenie przez 7, 8 i 9 · Ćwiczenia: mnożenie i dzielenie

Czytasz zegar ze wskazówkami: pełne i pół godziny, kwadrans po i za kwadrans oraz co pięć minut. Obliczasz też, ile coś trwa.

Pełne godziny · Pół godziny · Kwadrans po i za kwadrans · Co pięć minut · Ile to trwa? · Ćwiczenia: zegar

Liczysz monety i banknoty, dodajesz ceny i obliczasz resztę. Obliczasz też, ile oszczędzasz.

Monety i banknoty · Ceny razem · Płacenie i reszta · Krótkie historyjki o cenach · Oszczędzanie · Ćwiczenia: pieniądze

Sprawdzian dotyczy liczb do 100, tabliczki mnożenia, dzielenia, zegara i pieniędzy.

Sprawdzian: do 100 · Sprawdzian: mnożenie · Sprawdzian: dzielenie · Sprawdzian: zegar · Sprawdzian: pieniądze · Sprawdzian: wszystko razem

Uczysz się setek i tysięcy, umieszczasz liczby do 10 000 na osi liczbowej, porównujesz je i zaokrąglasz.

Liczenie setkami · Setki, dziesiątki i jedności · Tysiące · Oś liczbowa do 10 000 · Porównywanie i porządkowanie · Zaokrąglanie

Dodajesz i odejmujesz do 1000, rozkładając liczby, także z przekroczeniem setki. Potem uczysz się działań pisemnych, czyli liczenia sposobem pisemnym, liczba pod liczbą.

Dodawanie przez rozkład · Przekraczanie setki · Odejmowanie przez rozkład · Odejmowanie przez setkę · Działania pisemne · Ćwiczenia: dodawanie i odejmowanie do 1 000

Uczysz się tabliczki mnożenia przez 11 i 12 oraz mnożenia przez 10, 100 i 1 000. Większe działania, jak 23 × 4, rozwiązujesz przez rozkład.

Mnożenie przez 11 i 12 · Razy 10, 100 i 1 000 · Dziesiątki razy jedności · Liczba dwucyfrowa razy jednocyfrowa · Liczby dwucyfrowe razy 10 i 100 · Ćwiczenia: mnożenie dużych liczb

Dzielisz z pomocą tabliczki do 12 i odkrywasz, co zostaje: resztę. Dzielisz przez 10 i 100 oraz rozkładasz większe liczby.

Tabliczka mnożenia na odwrót · Dzielenie z resztą · Ile razy się mieści · Dzielenie przez 10 i 100 · Większe liczby · Ćwiczenia: dzielenie z resztą

Uczysz się połowy, ćwierci i jednej trzeciej oraz tego, czym są licznik i mianownik. Dodajesz i odejmujesz ułamki, szukasz równych ułamków i obliczasz ułamek liczby.

Połowa, ćwierć, jedna trzecia · Licznik i mianownik · Dodawanie ułamków · Odejmowanie ułamków · Równe ułamki · Ułamek liczby · Ćwiczenia: ułamki

Liczysz w metrach, centymetrach, kilometrach i milimetrach, w kilogramach i gramach, w litrach i mililitrach oraz w godzinach, minutach i sekundach.

Metry i centymetry · Kilometry i milimetry · Kilogramy i gramy · Litry i mililitry · Godziny, minuty i sekundy · Ćwiczenia: mierzenie

Sprawdzian dotyczy liczb do 10 000, dodawania i odejmowania, mnożenia i dzielenia, ułamków i mierzenia.

Sprawdzian: liczby do 10 000 · Sprawdzian: dodawanie i odejmowanie · Sprawdzian: mnożenie i dzielenie · Sprawdzian: ułamki · Sprawdzian: mierzenie · Sprawdzian: wszystko na zmianę

Uczysz się części dziesiątych i setnych jako ułamków dziesiętnych. Porównujesz je, dodajesz, odejmujesz, mnożysz i dzielisz przez 10 i 100 oraz zaokrąglasz.

Części dziesiąte · Części setne · Porównywanie ułamków dziesiętnych · Dodawanie ułamków dziesiętnych · Odejmowanie ułamków dziesiętnych · Części setne: dodawanie i odejmowanie · Mnożenie i dzielenie przez 10 i 100 · Zaokrąglanie i ćwiczenia

Uczysz się, co znaczy procent, i zamieniasz ułamki, ułamki dziesiętne i procenty. Obliczasz dowolny procent, także przy obniżce i podwyżce ceny.

Co znaczy procent · Ułamki, ułamki dziesiętne i procenty · 50 %, 25 %, 10 % i 1 % · Dowolny procent · Obniżka · Wzrost · Ćwiczenia: procenty

Uczysz się, czym jest stosunek, i pracujesz z tabelą proporcji. Obliczając, ile przypada na 1, zmieniasz cenę albo przepis.

Co to jest stosunek · Tabela proporcji: powrót do 1 · Powiększanie · Przez 1 · Ćwiczenia: stosunki

Poznajesz liczby poniżej zera, jak zimą na termometrze. Dodajesz i odejmujesz na osi liczbowej, także liczby ujemne.

Poniżej zera · Dodawanie na osi · Poniżej zera · Dodawanie liczby ujemnej · Odejmowanie liczby ujemnej · Ćwiczenia: liczby ujemne

Obliczasz obwód prostokątów i kwadratów oraz pole jako długość · szerokość. Uczysz się, kiedy potrzebujesz obwodu, a kiedy pola.

Obwód: dookoła · Kwadrat · Pole: liczymy kwadraciki · Pole = długość · szerokość · Obwód czy pole? · Ćwiczenia: obwód i pole

Czytasz diagramy słupkowe, piktogramy i diagramy kołowe. Szukasz sum i różnic oraz odczytujesz procenty.

Diagram słupkowy · Suma i różnica · Piktogram · Diagram kołowy · Ćwiczenia: czytanie diagramów

Sprawdzian dotyczy ułamków dziesiętnych, procentów, stosunków, liczb ujemnych, obwodu i pola oraz diagramów.

Sprawdzian: ułamki dziesiętne · Sprawdzian: procenty · Sprawdzian: stosunki · Sprawdzian: liczby ujemne · Sprawdzian: obwód i pole · Sprawdzian: diagramy · Sprawdzian: wszystko razem

Uczysz się kolejności działań: mnożenie przed dodawaniem i odejmowaniem, najpierw nawiasy. Mnożysz i dzielisz też liczby ujemne.

Mnożenie przed dodawaniem · Mnożenie przed odejmowaniem · Najpierw nawiasy · Mnożenie liczb ujemnych · Dzielenie liczb ujemnych · Ćwiczenia: kolejność działań

Uczysz się, że litera oznacza liczbę, i podstawiasz liczby do wzorów. Łączysz wyrazy podobne i wymnażasz nawiasy.

Litera zamiast liczby · Podstawianie · Podstawianie liczb ujemnych i kwadratów · Wyrazy podobne · Wyrazy podobne i liczby · Wymnażanie nawiasów · Ćwiczenia: wzory z życia

Rozwiązujesz równania jak na wadze: po obu stronach robisz to samo. Ćwiczysz równania wymagające dwóch kroków, z rozwiązaniem ujemnym, z x po obu stronach i z nawiasami.

Waga · Mnożenie i dzielenie · Dwa kroki · Rozwiązania ujemne · x po obu stronach · Równania z nawiasami · Ćwiczenia: równania

Zaznaczasz punkty w układzie współrzędnych i z wzoru robisz tabelę i wykres. Odczytujesz, gdzie prosta zaczyna się i jak jest stroma.

Współrzędne · Od wzoru do tabeli · Wykres wzoru · Gdzie zaczyna się prosta · Jak stromo · Ćwiczenia: funkcja liniowa

Liczysz kwadraty, wyższe potęgi i potęgi liczby 10. Uważasz na minus przed podstawą i uczysz się, czym jest pierwiastek.

Kwadraty liczb · Sześciany i wyższe potęgi · Potęgi liczby 10 · Ujemne podstawy · Pierwiastki · Ćwiczenia: potęgi i pierwiastki

Uczysz się twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Dzięki niemu obliczasz przeciwprostokątną albo przyprostokątną trójkąta prostokątnego.

Trójkąt prostokątny · a² + b² = c² · Obliczanie przeciwprostokątnej · Obliczanie przyprostokątnej · Ćwiczenia: Pitagoras

Sprawdzian dotyczy kolejności działań, wzorów, równań, funkcji liniowej, potęg i pierwiastków oraz twierdzenia Pitagorasa.

Sprawdzian: kolejność działań i liczby ujemne · Sprawdzian: litery i wzory · Sprawdzian: równania · Sprawdzian: funkcja liniowa · Sprawdzian: potęgi i pierwiastki · Sprawdzian: Pitagoras · Sprawdzian: wszystko razem

Rozwiązujesz równania kwadratowe: z x² = pewna liczba, z „iloczyn równy zero”, przez wyłączanie wspólnego czynnika i przez rozkład na czynniki.

x² = pewna liczba · Iloczyn równy zero · Wspólny czynnik · Dwie liczby · Najpierw wszystko na jedną stronę · Ćwiczenia: równania kwadratowe

Rozwiązujesz naraz dwa równania z dwiema niewiadomymi. Używasz dodawania stronami, odejmowania stronami i podstawiania.

Dwa równania, jedna odpowiedź · Dodawanie stronami · Odejmowanie stronami · Podstawianie · Ćwiczenia: układy równań

Rozpoznajesz figury podobne i obliczasz skalę podobieństwa. Dzięki temu znajdujesz brakujący bok, wysokość drzewa albo odległość na mapie.

Ten sam kształt, inny rozmiar · Skala podobieństwa · Brakujący bok · Cienie i wysokości · Ćwiczenia: figury podobne

Nazywasz boki trójkąta prostokątnego względem kąta i obliczasz sinus, cosinus i tangens. Obliczasz też kąt z dwóch boków.

Nazwy boków · Sinus · Cosinus · Tangens · Szukanie kąta · Ćwiczenia: trygonometria

Obliczasz średnią, medianę, dominantę i rozstęp. Uczysz się, która miara jest najuczciwsza, gdy jedna liczba odstaje od reszty.

Średnia · Mediana · Dominanta i rozstęp · Która mówi prawdę? · Ćwiczenia: statystyka

Obliczasz prawdopodobieństwo, licząc wyniki sprzyjające i wszystkie możliwe, z kostkami i kulkami. Obliczasz też prawdopodobieństwo przeciwne i zapisujesz je w procentach.

Czym jest prawdopodobieństwo · Woreczek z kulkami · Prawdopodobieństwo przeciwne · W procentach · Ćwiczenia: prawdopodobieństwo

Sprawdzian dotyczy równań kwadratowych, układów równań, podobieństwa, trygonometrii, statystyki i prawdopodobieństwa.

Sprawdzian: równania kwadratowe · Sprawdzian: układy równań · Sprawdzian: figury podobne · Sprawdzian: trygonometria · Sprawdzian: statystyka · Sprawdzian: prawdopodobieństwo · Sprawdzian: wszystko razem

Pracujesz ze wzorami funkcji, takimi jak f(x) = x² − 3x + 2. Składasz funkcje, szukasz funkcji odwrotnej i odczytujesz wartości z wykresu.

Funkcja to reguła · Funkcja kwadratowa i inne wzory · Funkcja złożona · Funkcja odwrotna · Wykres funkcji · Ćwiczenia: funkcje

Uczysz się praw działań na potęgach, także z wykładnikiem 0 i ujemnym. Ze współczynnikiem wzrostu obliczasz wzrost w czasie, na przykład odsetki i podwajanie.

Prawa działań na potęgach · Zero i wykładniki ujemne · Współczynnik wzrostu · Wzrost w czasie · Podwajanie i połowienie · Ćwiczenia: wzrost wykładniczy

Uczysz się, że logarytm odpowiada na pytanie „do jakiej potęgi?”. Używasz praw logarytmów i rozwiązujesz równania, w których x jest w wykładniku.

Czym jest logarytm · Podstawa 10 i małe liczby · Prawa logarytmów · Rozwiązywanie za pomocą logarytmu · Ćwiczenia: logarytmy

Rozpoznajesz ciągi arytmetyczne i geometryczne i obliczasz wyraz. Sumujesz też wyrazy ciągu, tak jak Gauss dodawał liczby od 1 do 100.

Ciągi arytmetyczne · Ciągi geometryczne · Jaki to ciąg? · Suma ciągu arytmetycznego · Suma ciągu geometrycznego · Ćwiczenia: ciągi i szeregi

Uczysz się, że pochodna daje nachylenie krzywej. Wzorem na pochodną potęgi różniczkujesz wyraz po wyrazie, wyznaczasz styczną i szukasz ekstremów.

Nachylenie krzywej · Wzór na pochodną potęgi · Wyraz po wyrazie · Styczna · Ekstrema · Ćwiczenia: pochodna

Poznajesz wektory jako kroki ze współrzędnymi. Dodajesz je, mnożysz przez liczbę, obliczasz ich długość i iloczyn skalarny.

Wektor to krok · Dodawanie i odejmowanie wektorów · Liczba razy wektor · Długość wektora · Iloczyn skalarny i ćwiczenia

Sprawdzian dotyczy funkcji, wzrostu wykładniczego, logarytmów, ciągów i szeregów, pochodnej i wektorów.

Sprawdzian: funkcje · Sprawdzian: wzrost wykładniczy · Sprawdzian: logarytmy · Sprawdzian: ciągi i szeregi · Sprawdzian: pochodna · Sprawdzian: wektory · Sprawdzian: wszystko razem

Uczysz się, czym jest granica, i obliczasz granice przy dziurze w wykresie oraz w nieskończoności. Widzisz też, kiedy granica nie istnieje.

Czym jest granica · Dziura w wykresie · W stronę nieskończoności · Gdy granica nie istnieje · Ćwiczenia: granice

Uczysz się dowodzić: wprost, kontrprzykładem, nie wprost i przez indukcję. Na koniec szukasz błędu w „dowodzie”, że 2 = 1.

Dowód wprost · Kontrprzykład · Dowód nie wprost · Dowód przez indukcję · Znajdź błąd

Różniczkujesz, korzystając ze wzorów na pochodną iloczynu i pochodną funkcji złożonej, i poznajesz pochodne funkcji elementarnych, jak eˣ. Używasz pochodnej jako tempa zmian.

Wzór na pochodną iloczynu · Pochodna funkcji złożonej · Pochodne podstawowych funkcji · Tempo zmian · Ćwiczenia: różniczkowanie

Uczysz się szukać funkcji pierwotnej i obliczać całki oznaczone. Dzięki temu wyznaczasz pole pod wykresem, także pod osią x i między dwoma wykresami.

Funkcja pierwotna · Całka oznaczona · Wyraz po wyrazie · Pole pod krzywą · Pod osią i między krzywymi · Ćwiczenia: całkowanie

Uczysz się, czym jest macierz, mnożysz ją przez liczbę, przez wektor i przez inną macierz oraz obliczasz wyznacznik.

Czym jest macierz · Liczba razy macierz · Macierz razy wektor · Macierz razy macierz · Wyznacznik · Ćwiczenia: macierze

Poznajesz liczby zespolone dzięki równości i² = −1. Dodajesz je, mnożysz, dzielisz z użyciem sprzężenia i wyznaczasz moduł.

i² = −1 · Dodawanie i mnożenie · Sprzężenie i dzielenie · Moduł · Ćwiczenia: liczby zespolone

Liczysz kolejności i kombinacje i pracujesz z rozkładem dwumianowym. Obliczasz wartości oczekiwane i prawdopodobieństwa warunkowe.

Liczenie kolejności · Kombinacje · Rozkład dwumianowy · Wartość oczekiwana · Prawdopodobieństwo warunkowe · Ćwiczenia: prawdopodobieństwo

Sprawdzian końcowy dotyczy granic, dowodów, różniczkowania, całkowania, macierzy, liczb zespolonych i prawdopodobieństwa.

Sprawdzian: granice · Sprawdzian: dowody · Sprawdzian: różniczkowanie · Sprawdzian: całkowanie · Sprawdzian: macierze · Sprawdzian: liczby zespolone · Sprawdzian: prawdopodobieństwo · Sprawdzian: wszystko razem

Liczysz z resztami i modulo n, wyznaczasz NWD algorytmem Euklidesa oraz NWW. Pracujesz też z liczbami pierwszymi i małym twierdzeniem Fermata.

Reszty i mod · Rachunek modulo n · NWD i Euklides · NWW · Liczby pierwsze i Fermat · Ćwiczenia: teoria liczb

Obliczasz macierz odwrotną i za jej pomocą rozwiązujesz układ równań. Potem wyznaczasz wartości własne i wektory własne, między innymi macierzy trójkątnych.

Macierz odwrotna · Rozwiązywanie układu za pomocą macierzy odwrotnej · Wartości własne · Macierze trójkątne i wektory własne · Ćwiczenia: algebra liniowa 2

Rozwiązujesz równania różniczkowe y′ = k · y dla wzrostu i zaniku. Obliczasz okresy połowicznego rozpadu i czasy podwojenia oraz używasz prawa stygnięcia Newtona.

Czym jest równanie różniczkowe · Wzrost i zanik · Okres połowicznego rozpadu i czas podwojenia · Prawo stygnięcia Newtona · Ćwiczenia: wzrost, zanik i stygnięcie

Pracujesz z funkcjami dwóch zmiennych. Obliczasz pochodne cząstkowe i gradient, szukasz punktów płaskich i liczysz całki podwójne.

Funkcja dwóch zmiennych · Pochodne cząstkowe · Gradient i punkt płaski · Całki podwójne · Ćwiczenia: kilka zmiennych

Sumujesz nieskończone szeregi geometryczne i sprawdzasz, czy szereg jest zbieżny, czy rozbieżny, między innymi kryterium d'Alemberta. Tworzysz też wielomiany Taylora.

Nieskończone szeregi geometryczne · Zbieżny czy nie · Kryteria zbieżności · Wielomiany Taylora · Ćwiczenia: szeregi

Poznajesz grafy: wierzchołki, krawędzie i stopnie. Używasz lematu o uściskach dłoni, liczysz krawędzie grafów pełnych i szukasz dróg Eulera.

Wierzchołki i krawędzie · Lemat o uściskach dłoni · Grafy pełne · Drogi Eulera i drzewa · Ćwiczenia: grafy

Uczysz się, czym jest grupa, na przykładzie dodawania i mnożenia modulo n. Wyznaczasz rzędy elementów i używasz twierdzenia Lagrange'a.

Czym jest grupa · ℤₙ: dodawanie modulo n · ℤₙ*: mnożenie modulo n · Twierdzenie Lagrange'a · Ćwiczenia: grupy

Sprawdzian dotyczy teorii liczb, algebry liniowej, równań różniczkowych, kilku zmiennych, szeregów, grafów i grup.

Sprawdzian: teoria liczb · Sprawdzian: algebra liniowa · Sprawdzian: równania różniczkowe · Sprawdzian: kilka zmiennych · Sprawdzian: szeregi · Sprawdzian: grafy · Sprawdzian: grupy · Sprawdzian: wszystko wymieszane